Manipulez les paramètres a et b
y = 1x + 0
Notions et processus (Progression des apprentissages)
Cet outil permet de travailler plusieurs notions et processus mathématiques clés, principalement au 1er cycle du secondaire, mais aussi en révision au 2e cycle.
| Domaine | Notion ou processus | Description (selon la PDA, 1er cycle sec.) |
|---|---|---|
| Algèbre | Variable | Observer et décrire la relation entre deux variables. |
| Algèbre | Relation et fonction | Représenter une relation à l'aide d'une règle (équation), d'une table de valeurs et d'un graphique. |
| Algèbre | Règle de correspondance (y = ax + b) | Reconnaître, décrire et interpréter les fonctions affines (y = ax + b). |
| Algèbre | Paramètre a (taux de variation) | Interpréter le rôle du paramètre a (taux de variation ou pente). Constater que si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, elle est décroissante ; si a = 0, elle est constante. |
| Algèbre | Paramètre b (valeur initiale) | Interpréter le rôle du paramètre b (valeur initiale ou ordonnée à l'origine). Constater que b est la valeur de y lorsque x = 0. |
| Algèbre | Processus : tracer une droite | Tracer le graphique d'une fonction affine à partir de sa règle. |
| Algèbre | Processus : trouver la règle | (Au 2e cycle) Trouver la règle d'une fonction affine (y = ax + b) à partir de deux points ou du graphique. |
Cet outil s'inscrit aussi dans le contexte « Donner un sens à la mathématique par la manipulation virtuelle » identifié dans le document « PFEQ en MST et la compétence numérique ».
Proposition de démarche pédagogique
Voici une proposition d'activité structurée en trois phases, favorisant une approche inductive où l'élève découvre les concepts par l'exploration.
1. Phase de préparation (activation et mise en contexte)
- Objectif : Activer les connaissances antérieures sur le plan cartésien, les coordonnées (x, y) et les tables de valeurs.
- Activité : En grand groupe, projeter l'outil avec y = x (a=1, b=0). Demander aux élèves : « Que représente cette ligne ? Quelles sont les coordonnées de quelques points sur cette ligne ? (ex: (1,1), (2,2), (-3,-3)) ». Faire le lien avec une table de valeurs simple.
2. Phase de réalisation (exploration guidée)
Diviser cette phase en deux missions d'exploration, idéalement en dyades (un élève manipule, l'autre note les observations, puis ils inversent).
Mission 1 : le mystère du paramètre b (l'ordonnée à l'origine)
- Consigne : « Gardez le paramètre a fixé à 1. Ne touchez qu'au curseur b. Déplacez b et notez ce qui se passe. »
- Questions à poser :
- Que fait la droite lorsque vous augmentez b ? Et lorsque vous le diminuez ?
- Regardez le point où la droite coupe l'axe des y. Quel lien voyez-vous avec la valeur de b ?
- (Pousser plus loin) Pourquoi appelle-t-on b l'« ordonnée à l'origine » ?
- Traces à recueillir :
- Observations : L'enseignant circule et observe comment les élèves manipulent et discutent.
- Productions : Une courte phrase résumant leur découverte sur le rôle de b.
Mission 2 : le pouvoir du paramètre a (la pente)
- Consigne : « Remettez b à 0. Maintenant, ne touchez qu'au curseur a. Explorez ce qui se passe. »
- Questions à poser :
- Que se passe-t-il quand a est positif (a > 0) ? (La droite « monte »)
- Que se passe-t-il quand a est négatif (a < 0) ? (La droite « descend »)
- Que se passe-t-il quand a = 0 ? (La droite est horizontale)
- Comparez y = 1x et y = 3x. Laquelle « monte » le plus vite ? Que fait a à l'inclinaison de la droite ?
- Traces à recueillir :
- Conversations : Demander à une dyade d'expliquer ce qu'ils voient. « Expliquez-moi la différence entre une pente de -2 et une pente de 0.5. »
- Productions : Un tableau simple résumant le comportement de la droite selon le signe de a.
Défi (synthèse)
- Consigne : « Maintenant, en utilisant les deux curseurs, essayez de créer une droite qui : »
- Passe par le point (0, 5) et qui est décroissante.
- Est parallèle à y = 2x mais passe par (0, -3).
- Passe exactement par les points (0, 2) et (1, 4). (Les élèves devront déduire a=2 et b=2).
3. Phase d'intégration (formalisation et transfert)
- Objectif : Formaliser les découvertes et les transférer à des problèmes papier.
- Activité :
- Mise en commun : En grand groupe, animer une discussion pour formaliser : « Alors, quel est le rôle du paramètre a ? Et celui du paramètre b ? » Noter les découvertes au tableau.
- Transfert : Donner quelques équations (ex: y = -2x + 1 ; y = 0.5x - 4) et demander aux élèves de les esquisser rapidement sur papier (sans l'outil), en justifiant leur esquisse à l'aide des paramètres a et b.
- Réflexion : « En quoi cet outil vous a-t-il aidé à mieux comprendre que de juste voir des exemples au tableau ? »
Pistes de développement professionnel
L'utilisation d'un tel outil interactif s'inscrit dans une pédagogie active et favorise la différenciation. Voici quelques pistes pour aller plus loin :
Conception universelle de l'apprentissage (CUA)
Cet outil répond à plusieurs principes de la CUA :
- Moyens de représentation multiples (le « Quoi ») : L'élève voit l'équation (symbolique), les curseurs (action) et le graphique (visuel) changer simultanément. Cela offre différentes portes d'entrée pour comprendre le concept.
- Moyens d'action et d'expression multiples (le « Comment ») : L'élève n'est pas passif ; il manipule, teste des hypothèses et voit immédiatement le résultat de son action.
- Moyens d'engagement multiples (le « Pourquoi ») : L'aspect interactif et visuel est plus engageant qu'un cours magistral. Les « missions » et « défis » transforment l'apprentissage en jeu d'exploration.
Modèle SAMR
L'intégration de cet outil peut se situer à différents niveaux du modèle SAMR :
- Substitution : L'outil remplace une feuille de papier millimétré pour tracer des droites.
- Augmentation : L'outil augmente la tâche en permettant de tracer des dizaines de droites en quelques secondes, ce qui serait fastidieux à la main.
- Modification : L'activité est modifiée. L'élève n'applique pas une procédure, il découvre la procédure par induction. L'exploration guidée (Mission 1 et 2) modifie la posture de l'élève qui devient un chercheur.
- Redéfinition : On pourrait redéfinir la tâche en demandant aux élèves de créer une œuvre d'art (type « string art ») en utilisant une dizaine d'équations trouvées avec l'outil (en utilisant un outil comme Desmos, qui est une version plus avancée de cet outil).
Ressources suggérées
- Autoformation Campus RÉCIT : Explorer les autoformations sur la programmation ou la pensée informatique pour voir comment créer de tels outils, ou sur la Conception universelle de l'apprentissage (CUA).
- Outils similaires (prochaines étapes) :
- Desmos (Calculatrice graphique) : Permet de pousser cette exploration beaucoup plus loin, de sauvegarder les graphiques et de les partager.
- GeoGebra : Un autre outil puissant pour la géométrie et l'algèbre dynamique.